ÁLGEBRA LINEAL (Antología)

Un conjunto V , no vacio, contenido en el conjunto RxRx...xR ( n-veces), con dos operaciones definidas entre sus elementos: suma y multiplicación por escalar , es un espacio vectorial si cumple: Para todo  u ,  v, w  elementos de   V y a,b  escalares (elementos de  R )                  Suma                  Producto Escalar    1.              u + v                          a u        están en V         (Cerradura) 2.    ( u + v)+w  =   u + ( v+w )        a ( b u) = ( ab )u                (Asociativa) 3.   Existe O en V , tal que           u  +  O =  u                                                 (Idéntico aditivo o Elemento neutro) 4.   Existe -u en V , tal que           u + (-u) =  O                                               (Inverso aditivo) 5.   u + v =  v + u                                                   (Conmutativa) 6.                                         a ( u + v) = a u + a v            (Distributiva) 7.                                      

Matriz Inversa por el método de Gauss-Jordan A continuación la resolución de sistemas de ecuaciones lineales Método de Gauss-Jordan y Gauss s. https://cursoscienciasbasicas.blogspot.com/2020/04/solucion-de-un-sel-por-el-metodo-de.html Fuente: http:// www.krellinst.org/AiS/textbook/unit2/example_projects/starter/math/matrix/gauss.html Método de GAUSS Método de gauss   from  pepemunoz Método de la Regla de Cramer Regla de cramer o método por determinantes   from  Matematica de Samos Método de la Inversa Sea el siguiente sistema se ecuaciones lineales de nxn: Podemos representar el sistema anterior de la forma matricial  -->  A X = B; en donde La matriz A se llama matriz del sistema, es de dimensión n x n y sus elementos son los coeficientes de las incógnitas. La matriz X es una matriz columna, de dimensión n x 1, formada por las incógnitas del sistema. Por último, la matriz B es otra matriz columna, de dimensión n x 1, for

Un sistema de ecuaciones lineales puede ser de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (variables) 2x2:                a 1 1 x 1 +  a 1 2   x 2  =  b 1                  a 2 1 x 1 +  a 2 2   x 2  =  b 2 ; donde   a i j y   b i son números reales  i = j = 1,2  y   a i j  distinto de cero en al menos una de las ecuaciones.  tres ecuaciones lineales con tres incógnitas (variables) de 3x3:               a 1 1 x 1 +  a 1 2   x 2 + a 1 3 x 3 =  b 1               a 2 1 x 1 +  a 2 2   x 2 + a 2 3 x 3 =  b 2               a 3 1 x 1 +  a 3 2   x 2 + a 3 3 x 3 =  b 3 ; donde   a i j  y   b i  son números reales     i = j = 1,2,3   y    a i j   distinto de cero  en al menos una de las ecuaciones.  En general: n ecuaciones lineales con n incógnitas (variables) de nxn:                   a 1 1  x 1 + a 1 2 x 2 + . . . +  a 1 n  x n = b 1                   a 2 1  x 1 +  a 2 2   x 2 + . . . +  a 2 n  x n =  b 2                                             

Definición de Matriz Las  Matrices   son arreglos rectangulares de números encerrados entre paréntesis o corchetes. Las denotamos con letras mayúsculas: A, B, C ,... y a sus elementos les llamamos componentes o entradas y se representan con letras minúsculas:  a, b, c ,... o también con a i j, en donde el subíndice i indica el renglón (fila) en donde se encuentra el componente y el subíndice j nos indica en qué columna está. Ejemplo:                            En este caso decimos que la Matriz A es de Orden  4 x 4                                                     Elemento en el tercer renglón y en la segunda columna:  a 32 = 8,  Elemento en el primer renglón y en la tercera columna:  a 13  = 16,  Elemento en el cuarto renglón y en la cuarta columna:  a 44  = 4,... En general tenemos:                              mxn                                                 orden     Operaciones con Matrices: a) Suma y Resta Para estar bien defini

                                                                                                                  

Definición: z = a+ bi = (a, b)= r [cos θ + i sen θ] = r e ^ ( iθ)                     Formas: binómica        trigonométrica        exponencial, Si ρ = r = módulo de z = | z |= | (x,y) |, tenemos        Esto es debido a la Fórmula de Euler:   Y al calcular  a)La multiplicación  de dos números complejos en coordenadas polares:   , y   , entonces Forma Trigonométrica                                              = r1 r2[cos ( Θ1 +  Θ2 )+ i sen ( Θ1 +  Θ2 )]                                                            donde   (r1 r2)   ( Θ1 +  Θ2)        Forma Polar  b) La división de dos números complejos en coordenadas polares:       Forma Trigonométrica         =(r1/ r2)[  cos   ( Θ1 -  Θ2)+ i sen ( Θ1 -  Θ2)]                     donde    ( r1 / r2)   ( Θ1 -  Θ2)         Forma Polar es muy fácil ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan).  En pa

Propiedades del módulo: Para todo z ∈ ℂ, se cumple: 1. |z| ≥ 0, y |z| = 0 si y sólo si z = 0 2. |z 1   −  z 2 | =|z 2  − z 1 | 3. |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | 4. |z 1 z 2 | =|z 1 | |z 2 | Recordemos que el módulo de z: | z | es la distancia del número complejo al origen de coordenadas:  El elemento neutro para la suma es:  (0, 0) El neutro para el producto es: (1,0) El opuesto de (a, b) es -z=(−a, −b). El inverso multiplicativo de (a, b), no nulo, es (a + b i)^(-1)       = ( a / (a^2+b^2), - b / (a^2+b^2) )

Operaciones con fracciones o números racionales (Q): a/b ojo: b debe ser diferente de cero. Haciendo memoria de las fracciones  sólo podremos sumar y restar fracciones que tengan el mismo denominador Para multiplicar y dividir fracciones no importa si los denominadores no son iguales.                    EJEMPLOS                Producto           (1/5)(3/2)                 =( 1 / 5 )( 3 / 2 )                  No importan los  denominadores :               = 3 / 10                           Se multiplican numeradores y denominadores               =3/10                    Suma o Adición                 2.  (1/5)+(3/2)                  =( 1 / 5 )+( 3 / 2 )            Igualando  denominadores, con el mínimo común denominador :                   =( 2 / 10 )+( 15 / 10 )      Se suman solo los  numeradores                  =17/10 Es importante un repaso de las propiedades de los exponentes y la relación con las raíces Propiedades de la radicación y potenciación   from  Vanemal

Igualando parte real y parte imaginaria de Números complejos

Definición y notación de los números complejos,  operaciones entre complejos  <--Darle clic Operaciones con números complejos :   Notaciones de los números complejos: z = a + b i = (a, b) Ejemplos.  Dados Z 1=(3,−2) ,   Z 2=(1,5),  hallar: a)  Z 1+ Z 2, b)  Z 1 Z 2. a) Z 1+ Z 2=( 3 ,-2)+( 1 ,5)=( 3 + 1 ,-2+5)=( 4 ,3)= 4 +3 i b) Z 1 Z 2=( 3 ,-2)( 1 ,5) = [ 3 ( 1 ) - (-2)(5), 3 (5) + (-2)( 1 )] =(3+10,15-2)=(13,13)=13+13 i c)Dados (1, 3/2)  ,  (2,1),  hallar: ( 1 ,3/2)+( 2 ,1). ( 1 ,3/2)+( 2 ,1)=( 1 + 2 ,3/2+1)=( 3 ,5/2)= 3 +(5 /2) i En la notación binómica: a+bi, tendremos el   siguiente  desarrollo a) Z 1+ Z 2 =(3-2i)+(1+5i)= 3+1+(-2i+5i)=4+3i b) Z 1 Z 2 =( 3 -2i)( 1 + 5i) =  3 ( 1 )+ 3 (5i)+ (-2i)( 1 )+ (-2i)(5i)                 = 3+15i-2i-10 i ^ 2 =3 -13i +10; pues i^2 =-1                         =13-13i Ejercicios   1. Después de ver el documento del enlace  ( Definición y notación de los números complejos,  operaciones entre complejos https://www.blogg