ÁLGEBRA LINEAL (Antología)

TEMA 1: Números Complejos   La forma Polar de un número complejo z = a+bi = (a,b) Para encontrar la forma polar del complejo z usamos el triángulo rectángulo que podemos formar con las coordenadas (a, b). Por el Teorema de Pitágoras y definición de la función trigonométrica  tan ( 𝛳)  = cateto opuesto / cateto adyacente obtenemos: Por lo Tanto la forma polar de z=a+bi es:  Si r = | z |=  , arg(z) = 𝛳=tan⁻¹( b/a ), entonces z = r [cos𝛳+i sen𝛳 ]= r θ . La forma trigonométrica es por la definición de las funciones cos 𝛳 y sen 𝛳 en el triángulo rectángulo:  cos 𝛳 = a/r =cateto adyacente/hipotenusa, por lo que: a = r cos 𝛳 sen 𝛳 = b/r =cateto opuesto/hipotenusa, por lo que: b = r sen 𝛳 Nota1 :El sentido del ángulo  𝛳 es positivo , cuando gira a partir del eje real positivo, contrario a las manecillas del reloj. Nota2 : Respecto al ángulo  𝛳, siempre que la parte real del número complejo z es negativa , tenemos que rectificar el ángulo 𝛳 s...

Ejercicios de Números complejos

Definición: z = a+ bi = (a, b)= r [cos θ + i sen θ] = r e ^ ( iθ)                     Formas: binómica        trigonométrica        exponencial, Si ρ = r = módulo de z = | z |= | (x,y) |, tenemos        Esto es debido a la Fórmula de Euler:   Y al calcular  a)La multiplicación  de dos números complejos en coordenadas polares:   , y   , entonces Forma Trigonométrica                                              = r1 r2[cos ( Θ1 +  Θ2 )+ i sen ( Θ1 +  Θ2 )]                                                            donde   (r1 r2)   ( Θ1 ...

Propiedades del módulo: Para todo z ∈ ℂ, se cumple: 1. |z| ≥ 0, y |z| = 0 si y sólo si z = 0 2. |z 1   −  z 2 | =|z 2  − z 1 | 3. |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | 4. |z 1 z 2 | =|z 1 | |z 2 | Recordemos que el módulo de z: | z | es la distancia del número complejo al origen de coordenadas:  El elemento neutro para la suma es:  (0, 0) El neutro para el producto es: (1,0) El opuesto de (a, b) es -z=(−a, −b). El inverso multiplicativo de (a, b), no nulo, es (a + b i)^(-1)       = ( a / (a^2+b^2), - b / (a^2+b^2) )