Unidad 4: Espacios Vectoriales

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Un conjunto V, no vacio, contenido en el conjunto RxRx...xR (n-veces), con dos operaciones definidas entre sus elementos: suma y multiplicación por escalar, es un espacio vectorial si cumple:
Para todo u, v, w elementos de V y a,b escalares (elementos de R)
                 Suma                 Producto Escalar   
1.            u+v                         au      están en V       (Cerradura)
2.  (u+v)+w = u+(v+w)     a(bu) = (ab)u               (Asociativa)
3.  Existe O en V, tal que
         u + O = u                                                (Idéntico aditivo o Elemento neutro)
4.  Existe -u en V, tal que
         u+(-u) = O                                              (Inverso aditivo)
5.  u+v = v+u                                                   (Conmutativa)
6.                                        a(u+v) = au + av          (Distributiva)
7.                                        (a+b)u = au+bu           (Distributiva)
8.                                               1u = u             

 A los elementos de V se les llama vectores.
Ejemplo:
a) Sea V = M4x3, conjunto de matrices de 4 x 3 con la suma  de matrices y la multiplicación por un escalar utilizadas anteriormente. ¿Analiza si V forma un espacio vectorial?
                            n
b)  Sea V = R    representado como matrices columna de n x 1. La suma y multiplicación por escalar usuales. Indica cuáles son: el elementro inverso y el idéntico aditivo de x en V.
c) Sea V = Conjunto que consta de un único elemento: el cero, ¿será un espacio vectorial?
d) Dá un ejemplo de espacio vectorial.


  • REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE UN VECTOR CON UN SISTEMA COORDENADO                                             
                     RXR                               


                                                                                             
                                                         RXRXR   
MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR: aV
  • SUBESPACIOS VECTORIALES
1.- Sea (V,+,*) un espacio vectorial , y sea W un subconjunto no vacio de V. Diremos que W dotado con las mismas operaciones definidas en V, es un subespacio vectorial del mismo si se verifican las dos propiedades:

    1)  
2)  


Una condición equivalente a la anterior es:

    W es un subespacio vectorial de V si y sólo si se verifica que

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UNIDAD 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (SEL)

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Un sistema de ecuaciones lineales puede ser de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (variables) 2x2:                a 1 1 x 1 +  a 1 2   x 2  =  b 1                  a 2 1 x 1 +  a 2 2   x 2  =  b 2 ; donde   a i j y   b i son números reales  i = j = 1,2  y   a i j  distinto de cero en al menos una de las ecuaciones.  tres ecuaciones lineales con tres incógnitas (variables) de 3x3:               a 1 1 x 1 +  a 1 2   x 2 + a 1 3 x 3 =  b 1               a 2 1 x 1 +  a 2 2   x 2 + a 2 3 x 3 =  b 2               a 3 1 x 1 +  a 3 2   x 2 + a 3 3 x 3 =  b 3 ; donde   a i j  y   b i  son números reales     i = j = 1,2,3   y    a i j   distinto de cero  en al menos una de las ecuaciones.  En general: n ecuaciones lineales con n incógnitas (variables) de nxn:                   a 1 1  x 1 + a 1 2 x 2 + . . . +  a 1 n  x n = b 1                   a 2 1  x 1 +  a 2 2   x 2 + . . . +  a 2 n  x n =  b 2                                             
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Matriz Inversa por el método de Gauss-Jordan A continuación la resolución de sistemas de ecuaciones lineales Método de Gauss-Jordan y Gauss s. https://cursoscienciasbasicas.blogspot.com/2020/04/solucion-de-un-sel-por-el-metodo-de.html Fuente: http:// www.krellinst.org/AiS/textbook/unit2/example_projects/starter/math/matrix/gauss.html Método de GAUSS Método de gauss   from  pepemunoz Método de la Regla de Cramer Regla de cramer o método por determinantes   from  Matematica de Samos Método de la Inversa Sea el siguiente sistema se ecuaciones lineales de nxn: Podemos representar el sistema anterior de la forma matricial  -->  A X = B; en donde La matriz A se llama matriz del sistema, es de dimensión n x n y sus elementos son los coeficientes de las incógnitas. La matriz X es una matriz columna, de dimensión n x 1, formada por las incógnitas del sistema. Por último, la matriz B es otra matriz columna, de dimensión n x 1, for
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Definición de Matriz Las  Matrices   son arreglos rectangulares de números encerrados entre paréntesis o corchetes. Las denotamos con letras mayúsculas: A, B, C ,... y a sus elementos les llamamos componentes o entradas y se representan con letras minúsculas:  a, b, c ,... o también con a i j, en donde el subíndice i indica el renglón (fila) en donde se encuentra el componente y el subíndice j nos indica en qué columna está. Ejemplo:                            En este caso decimos que la Matriz A es de Orden  4 x 4                                                     Elemento en el tercer renglón y en la segunda columna:  a 32 = 8,  Elemento en el primer renglón y en la tercera columna:  a 13  = 16,  Elemento en el cuarto renglón y en la cuarta columna:  a 44  = 4,... En general tenemos:                              mxn                                                 orden     Operaciones con Matrices: a) Suma y Resta Para estar bien defini
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