Solución de un SEL por el Método de Gauss

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Para encontrar la solución, si existe, de un sistema de ecuaciones lineales se utiliza el método de Gauss. 
Este método consiste en
1°) Transcribir los coeficientes (números con su signo, que acompañan a las variables de cada ecuación) y los términos independientes (los números que no contienen variables en cada ecuación) a una matriz llamada matriz aumentada del sistema. 
Veamos un ejemplo
Encontrar la solución, si existe, del SEL de 3x3 :    
2x -3y -z = 3, 
x +y+3z = -2,
 -3x - z = 4
 su matriz aumentada asociada del SEL es

               x      y        z       términos 
                       coeficientes     independientes


2°)Se escalona la matriz aumentada


      
          
3°)Se traduce el último renglón de la matriz escalonada a ecuación lineal
 donde la primera columna son los coeficientes de x, la segunda columna los coeficientes de y, la tercera columna los coeficientes de z y la última columna son los términos independientes.
 Entonces del último renglón se genera la ecuación
(19/5) z = 11/5 pues son cero los coeficientes para x, y 
se despeja z ⟿  z = 11/19, 
  • La traducción a ecuación del segundo renglón: y + (7/5) z = - 7/5
 se despeja y⟶ y = - (7/5) z  -7/5  
se sustituye el valor de z ⟿ y = - (7/5) (11/19) - 7/5
⟿ y = - 42/19
  •  La traducción a ecuación del primer renglón: x +y +3z = - 2

se despeja la x⟶ x = - y - 3z  - 2



se sustituyen el valor de z  y el de y ⟿x = -(- 42/19 )-3(11/19) -2

⟿ x = - 29/19 
4°)Solución. Se tiene que el sistema es consistente; pues tiene solución única
(x, y, z) = (-29/19, - 42/19, 11/19),
los tres planos se intersectan en un solo punto

Gráfica de los tres planos en el espacio (R³).













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Un sistema de ecuaciones lineales puede ser de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (variables) 2x2:                a 1 1 x 1 +  a 1 2   x 2  =  b 1                  a 2 1 x 1 +  a 2 2   x 2  =  b 2 ; donde   a i j y   b i son números reales  i = j = 1,2  y   a i j  distinto de cero en al menos una de las ecuaciones.  tres ecuaciones lineales con tres incógnitas (variables) de 3x3:               a 1 1 x 1 +  a 1 2   x 2 + a 1 3 x 3 =  b 1               a 2 1 x 1 +  a 2 2   x 2 + a 2 3 x 3 =  b 2               a 3 1 x 1 +  a 3 2   x 2 + a 3 3 x 3 =  b 3 ; donde   a i j  y   b i  son números reales     i = j = 1,2,3   y    a i j   distinto de cero  en al menos una de las ecuaciones.  En general: n ecuaciones lineales con n incógnitas (variables) de nxn:                   a 1 1  x 1 + a 1 2 x 2 + . . . +  a 1 n  x n = b 1                   a 2 1  x 1 +  a 2 2   x 2 + . . . +  a 2 n  x n =  b 2                                             
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