Solución de un SEL por el Método de Gauss

-
Para encontrar la solución, si existe, de un sistema de ecuaciones lineales se utiliza el método de Gauss. 
Este método consiste en
1°) Transcribir los coeficientes (números con su signo, que acompañan a las variables de cada ecuación) y los términos independientes (los números que no contienen variables en cada ecuación) a una matriz llamada matriz aumentada del sistema. 
Veamos un ejemplo
Encontrar la solución, si existe, del SEL de 3x3 :    
2x -3y -z = 3, 
x +y+3z = -2,
 -3x - z = 4
 su matriz aumentada asociada del SEL es

               x      y        z       términos 
                       coeficientes     independientes


2°)Se escalona la matriz aumentada


      
          
3°)Se traduce el último renglón de la matriz escalonada a ecuación lineal
 donde la primera columna son los coeficientes de x, la segunda columna los coeficientes de y, la tercera columna los coeficientes de z y la última columna son los términos independientes.
 Entonces del último renglón se genera la ecuación
(19/5) z = 11/5 pues son cero los coeficientes para x, y 
se despeja z ⟿  z = 11/19, 
  • La traducción a ecuación del segundo renglón: y + (7/5) z = - 7/5
 se despeja y⟶ y = - (7/5) z  -7/5  
se sustituye el valor de z ⟿ y = - (7/5) (11/19) - 7/5
⟿ y = - 42/19
  •  La traducción a ecuación del primer renglón: x +y +3z = - 2

se despeja la x⟶ x = - y - 3z  - 2



se sustituyen el valor de z  y el de y ⟿x = -(- 42/19 )-3(11/19) -2

⟿ x = - 29/19 
4°)Solución. Se tiene que el sistema es consistente; pues tiene solución única
(x, y, z) = (-29/19, - 42/19, 11/19),
los tres planos se intersectan en un solo punto

Gráfica de los tres planos en el espacio (R³).













Entradas más populares de este blog

UNIDAD 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (SEL)

-
Imagen
Un sistema de ecuaciones lineales puede ser de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (variables) 2x2:                a 1 1 x 1 +  a 1 2   x 2  =  b 1                  a 2 1 x 1 +  a 2 2   x 2  =  b 2 ; donde   a i j y   b i son números reales  i = j = 1,2  y   a i j  distinto de cero en al menos una de las ecuaciones.  tres ecuaciones lineales con tres incógnitas (variables) de 3x3:               a 1 1 x 1 +  a 1 2   x 2 + a 1 3 x 3 =  b 1               a 2 1 x 1 +  a 2 2   x 2 + a 2 3 x 3 =  b 2               a 3 1 x 1 +  a 3 2   x 2 + a 3 3 x 3 =  b 3 ; donde   a i j  y   b i  son números reales     i = j = 1,2,3   y    a i j   distinto de cero  en al menos una de las ecuaciones.  En general: n ecuaciones lineales con n incógnitas (variables) de nxn:                   a 1 1  x 1 + a 1 2 x 2 + . . . +  a 1 n  x n = b 1                   a 2 1  x 1 +  a 2 2   x 2 + . . . +  a 2 n  x n =  b 2                                             
Leer más

Tema 3: Método de Gauss-Jordan, Gauss, Regla de Cramer y la Matriz Inversa.

-
Imagen
Matriz Inversa por el método de Gauss-Jordan A continuación la resolución de sistemas de ecuaciones lineales Método de Gauss-Jordan y Gauss s. https://cursoscienciasbasicas.blogspot.com/2020/04/solucion-de-un-sel-por-el-metodo-de.html Fuente: http:// www.krellinst.org/AiS/textbook/unit2/example_projects/starter/math/matrix/gauss.html Método de GAUSS Método de gauss   from  pepemunoz Método de la Regla de Cramer Regla de cramer o método por determinantes   from  Matematica de Samos Método de la Inversa Sea el siguiente sistema se ecuaciones lineales de nxn: Podemos representar el sistema anterior de la forma matricial  -->  A X = B; en donde La matriz A se llama matriz del sistema, es de dimensión n x n y sus elementos son los coeficientes de las incógnitas. La matriz X es una matriz columna, de dimensión n x 1, formada por las incógnitas del sistema. Por último, la matriz B es otra matriz columna, de dimensión n x 1, for
Leer más

UNIDAD 2: Matrices y Determinantes

-
Imagen
Definición de Matriz Las  Matrices   son arreglos rectangulares de números encerrados entre paréntesis o corchetes. Las denotamos con letras mayúsculas: A, B, C ,... y a sus elementos les llamamos componentes o entradas y se representan con letras minúsculas:  a, b, c ,... o también con a i j, en donde el subíndice i indica el renglón (fila) en donde se encuentra el componente y el subíndice j nos indica en qué columna está. Ejemplo:                            En este caso decimos que la Matriz A es de Orden  4 x 4                                                     Elemento en el tercer renglón y en la segunda columna:  a 32 = 8,  Elemento en el primer renglón y en la tercera columna:  a 13  = 16,  Elemento en el cuarto renglón y en la cuarta columna:  a 44  = 4,... En general tenemos:                              mxn                                                 orden     Operaciones con Matrices: a) Suma y Resta Para estar bien defini
Leer más